LOGIKA MATEMATIKA

Logika (logic)




• Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning).
• Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements).

Proposisi
• kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
• Nama lain proposisi: kalimat terbuka.


Contoh 1. Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
(a) 13 adalah bilangan ganjil
(b) Soekarno adalah alumnus UGM.
(c) 1 + 1 = 2
(d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8
(e) Ada monyet di bulan
(f) Hari ini adalah hari Rabu
(g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap
(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

Contoh 2. Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3


• Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Soekarno adalah alumnus UGM.
r : 2 + 2 = 4

Mengkombinasikan Proposisi

• Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p  q,

2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p  q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p
Notasi: p

• p dan q disebut proposisi atomik
• Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition

Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p  q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
p  q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini tidak hujan) 

Contoh 4. Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:
(a) Pemuda itu tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Penyelesaian:
(a) p  q
(b) p  q
(c) p  q
(d) (p  q)
(e) p  (p  q)
(f) (p  q)

Tabel Kebenaran

p q p  q p q p  q p q

T T T T T T T F
T F F T F T F T
F T F F T T
F F F F F F

Contoh 5. Misalkan
p : 17 adalah bilangan prima (benar)
q : bilangan prima selalu ganjil (salah)
p  q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah)

Contoh 6. Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi majemuk (p  q)  (~q  r).

p q r p  q ~q ~q  r (p  q)  (~q  r)

T T T T F F T
T T F T F F T
T F T F T T T
T F F F T F F
F T T F F F F
F T F F F F F
F F T F T T T
F F F F T F F


• Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus
• Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Contoh 7. p  ~(p  q) adalah sebuah tautologi
p q p  q ~(p  q) p  ~(p  q)
T T T F T
T F F T T
F T F T T
F F F T T
Contoh 8. (p  q)  ~(p  q) adalah sebuah kontradiksi

p q p  q p  q ~(p  q) (p  q)  ~(p  q)

T T T F F F
T F F T F F
F T F T F F
F F F F T F



• Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi: P(p, q, …)  Q(p, q, …)




Contoh 9. Hukum De Morgan: ~(p  q)  ~p  ~q.

p q p  q ~ (p  q) ~ p ~q ~ p  ~ q

T T T F F F F
T F F T F T T
F T F T T F T
F F F T T T T







Hukum-hukum Logika
• Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1. Hukum identitas:
* p  F  p
* p  T  p
2. Hukum null/dominasi:
* p  F  F
* p  T  T

3. Hukum negasi:
* p  ~p  T
* p  ~p  F
4. Hukum idempoten:
* p  p  p
* p  p  p

5. Hukum involusi (negasi ganda):
* ~(~p)  p
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
* p  (p  q)  p
* p  (p  q)  p

7. Hukum komutatif:
* p  q  q  p
* p  q  q  p
8. Hukum asosiatif:
* p  (q  r)  (p  q)  r
* p  (q  r)  (p  q)  r

9. Hukum distributif:
* p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
* p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
10. Hukum De Morgan:
* ~(p  q)  ~p  ~q
* ~(p  q)  ~p  ~q



Contoh 10. Tunjukkan bahwa p  ~(p  q) dan p  ~q keduanya ekivalen secara logika.
Penyelesaian:
p  ~(p  q )  p  (~p  ~q) (Hukum De ogran)
 (p  ~p)  (p  ~q) (Hukum distributif)
 T  (p  ~q) (Hukum negasi)
 p  ~q (Hukum identitas)

Contoh 11. Buktikan hukum penyerapan: p  (p  q)  p
Penyelesaian:
p  (p  q)  (p  F)  (p  q) (Hukum Identitas)
 p  (F  q) (Hukum distributif)
 p  F (Hukum Null)
 p (Hukum Identitas)